魏尔斯特拉斯函数是一个怎样的函数，其有哪些性质，它是如何被构造出来的？如何证明魏尔斯特拉斯函数处处不可导？魏尔斯特拉斯函数是一种具有非常特殊性质的函数，它处处不可导。该函数由德国数学家卡尔魏尔斯特拉斯于19世纪提出，并成为分析学中的经典例子之一，那现在我们就来好好探讨一下魏尔斯特拉斯函数，并证明一下它为何处处不可导？先来了解一下魏尔斯特拉斯函数的具体构造构造魏尔斯特拉斯函数的方法是利用级数的收敛性质，通过逐步逼近的过程来生成一个处处不可导的函数。
这里的a和b是我们自由选择的参数。定义魏尔斯特拉斯函数W(x)为无穷级数的形式，W(x)=(b^n)*cos(a^n**x)，其中，表示对n从0到的求和。那魏尔斯特拉斯函数具有什么重要性质呢？无处不可导：魏尔斯特拉斯函数W(x)在任意实数点x处都不可导。这意味着无论取任何实数作为x值，该函数在该点的导数都不存在。
1、函数可微是什么意思在微积分学中，可微函数是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。一般来说，若X是函数?定义域上的一点，且?′(X)有定义，则称?在X点可微。这就是说?的图像在(X,?(X))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。
若?在X0点可微，则?在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。
2、函数可微的判断当然可以用可微的相关知识去判断，但是如果题目不是要证明是否可微，对于某些不可微的函数是可以一眼就看出来的，而不用证明。函数可微的直观几何解释是函数图象在该点是“光滑”的，即函数图象不能是“尖点”，回忆一元函数y|x|在x0点的图象是一个尖点，故这个函数在x0处不可微。本题中二元函数的图象是一个锥体，而(0,0)点对应的z是这个锥体的顶点，它是一个尖点，所以在该点不可微。
3、魏尔斯特拉斯函数的稠密性处处不可导函数的稠密性分析分析学的成果表明，魏尔斯特拉斯函数并不是连续函数中的少数几个特例之一。尽管它是“病态”函数的一种，但可以证明，这种病态的函数事实上不在“少数”，甚至比那些“规则”的函数“多得多”，在测度论意义上：在配备了经典维纳测度γ的连续函数空间C([0,1];R)中，至少有一处可导的函数所构成的集合的测度是0，也就是说和处处不可导的函数相比是可以“忽略”的。